Fonctions paires et impaires

Propriété

Soit $f$  une fonction continue sur un intervalle $I$ , symétrique par rapport à $0$ . Soit $a$ un réel de  $I$ .

• Si $f$ est une fonction paire, alors on a ${\displaystyle {\int }_{-a}^{0}f(x)\text{d}x={\displaystyle {\int }_0^{a}f(x)\text{d}x}}$ .
• Si $f$ est une fonction impaire, alors on a ${\displaystyle {\int }_{-a}^{0}f(x)\text{d}x=-{\displaystyle {\int }_0^{a}f(x)\text{d}x}}$ .

Exemples

1. Soit $f$ la fonction définie sur $[-3;3]$ par $f(x)={\displaystyle \frac{x^2}{x^2+1}}$ . 

• L'intervalle  $[-3;3]$  est symétrique par rapport à $0$ , 
  
• Pour tout $x\in [-3;3]$ , on a $f(-x)={\displaystyle \frac{(-x{)}^2}{(-x{)}^2+1}}={\displaystyle \frac{x^2}{x^2+1}}=f(x)$ .
  

Donc, $f$ est une fonction paire.
Alors, on obtient ${\displaystyle {\int }_{-3}^{0}f(x)\text{d}x={\displaystyle {\int }_0^{3}f(x)\text{d}x}}$ .

2. Soit $f$ la fonction définie sur  $[-4;4]$ par $f(x)={\displaystyle \frac{2x}{x^2+1}}$ .

• L'intervalle  $[-4;4]$  est symétrique par rapport à $0$ .
  
• Pour tout $x\in [-4;4]$ , on a $f(-x)={\displaystyle \frac{2\times (-x)}{(-x{)}^2+1}}={\displaystyle \frac{-2x}{x^2+1}}=-{\displaystyle \frac{2x}{x^2+1}}=-f(x)$ .
  

Donc, $f$ est une fonction impaire. 
Alors, on obtient ${\displaystyle {\int }_{-4}^{0}f(x)\text{d}x={\displaystyle -{\int }_0^{4}f(x)\text{d}x}}$ .